Потенциал электростатического поля создаваемого точечным зарядом пропорционален. Потенциал электростатического поля. Потенциал системы электрических зарядов

Электростатическое поле потенциально, кулоновские силы - консервативные силы, а работа консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии, т.е.

где С - постоянная интегрирования, которая обычно выбирается так, что при удалении заряда q на бесконечность – W р = 0, т.е. C = 0.

Будем исследовать ЭСП при помощи пробных зарядов q пр 1 , q пр2 , q пр 3 –

Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика поля, численно равная отношению потенциальной энергии пробного электрического заряда, помещённого в данную точку поля, к величине заряда.

Тогда, воспользовавшись соотношениями (7.1) и (7.7) получим:

Зная распределение зарядов, можем найти потенциал поля любой системы.

Потенциалы полей складываются алгебраически , поэтому вычисление потенциалов обычно проще, чем вычисление напряженностей ЭП.

В СИ единица измерения потенциала - [ j ] = 1Дж/Кл = 1В

Единица работы в 1 эВ (электронвольт) равна работе, совершаемой силами поля над зарядом равным заряду электрона, при прохождении им разности потенциалов в 1 В.

1 эВ = 1,6´10 –19 Кл ´ 1В=1,6´10 –19 Дж

Видеомодель: 1) Движение зарядов в электрическом поле; 2) Масс-спектрометр.

§ 15. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА В ПОЛЕ

Основные формулы

 Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду;

=П/Q ,

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

=A / Q .

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа A в.с внешних сил равна по модулю работеA с.п сил поля и противоположна ей по знаку:

A в.с = – A с.п .

 Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянииr от заряда,

 Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусомR , на расстоянии гот центра сферы:

внутри сферы (r <R )

;

на поверхности сферы (r =R )

;

вне сферы (r > R )

.

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

 Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраическойсуммепотенциалов 1 , 2 , ... , n , создаваемых отдельными точечными зарядамиQ 1 ,Q 2 , ...,Q n :

 Энергия W взаимодействия системы точечных зарядовQ 1 ,Q 2 , ...,Q n определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удаленииих относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где  i - потенциал поля, создаваемого всемип– 1 зарядами (за исключением 1-го) в точке, где расположен зарядQ i .

 Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

Е = –grad.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

,

или в скалярной форме

,

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,

E =( 1 – 2 ,)/d ,

где  1 и 2 - потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей;d - расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

 Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал 1 , в другую, имеющую потенциал 2 ,

A =Q ( 1 - 2 ), или

,

где E l - проекция вектора напряженностиЕ на направление перемещения;dl - перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

A = QElcos  ,

где l - перемещение;- угол между направлениями вектораЕ и перемещенияl .

Примеры решения задач

Пример 1. Положительные зарядыQ 1 =3 мкКл иQ 2 =20 нКл находятся в вакууме на расстоянииr 1 =l,5 м друг от друга. Определить работуA , которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстоянияr 2 =1 м.

Решение. Положим, что первый зарядQ 1 остается неподвижным, а второйQ 2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядомQ 1 , приближаясь к нему с расстоянияr 1 =t,5 м доr 2 =1 м.

Работа А" внешней силы по перемещению зарядаQ из однойточки поля с потенциалом 1 в другую, потенциал которой 2 , равна по модулю и противоположна по знаку работеА сил поля по перемещению заряда между теми же точками:

А"= -А.

Работа А сил поля по перемещению зарядаA =Q ( 1 - 2 ). Тогда работаА" внешних сил может быть записана в виде

A " = –Q ( 1 - 2 )=Q ( 2 - 1 ). (1)

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

;

.

Подставляя выражения  1 и 2 в формулу (1) и учитывая, что для данного случая переносимый зарядQ =Q 2 , получим

. (2)

Если учесть, что 1/(4 0 )=910 9 м/Ф, то после подстановки значений величин в формулу (2) и вычисления найдем

A "=180 мкДж.

Пример 2. Найти работуА поля по перемещению зарядаQ =10 нКл из точки1 в точку2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью=0,4 мкКл/м 2 бесконечными параллельными плоскостями, расстояниеl между которыми равно 3 см.

Р

ешение. Возможны два способа решения задачи.

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки1 поля с потенциалом 1 в точку2 поля с потенциалом 2 найдем по формуле

A =Q ( 1 - 2 ). (1)

Для определения потенциалов в точках 1 и2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхностиIиII. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение

 1 - 2 =El , (2)

где Е - напряженность поля;l - расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E =/ 0 . Подставив это выражениеЕ в формулу (2) и затем выражение 1 - 2 в формулу (1), получим

A = Q ( /  0 ) l .

2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на зарядQ , при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда из точки1 в точку2 можно подсчитать по формуле

A =F r cos, (3)

где F - сила, действующая на заряд;r - модуль перемещения зарядаQ из точки1 в точку2; - угол между направлениями перемещения и силы. Но F = QE = Q ( /  0 ). Подставив это выражениеF в равенство (3), а также заметив, чтоr cos=l , получим

A =Q (/ 0 )l . (4)

Таким образом, оба решения приводят к одному и тому же результату.

Подставив в выражение (4) значение величин Q , , 0 иl , найдем

A =13,6 мкДж.

Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусомR , равномерно распределен заряд с линейной плотностью=10 нКл/м. Определить напряженностьЕ и потенциалэлектрического поля, создаваемого таким р

аспределенным зарядом в точкеО , совпадающей с центром кривизны дуги. Длинаl нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а осьу была симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент длиныdl . ЗарядdQ =dl , находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О . Для этого найдем сначала напряженностьdE поля, создаваемого зарядомdQ :

,

где r -радиус-вектор, направленный от элементаdl к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проекцииdE x c иdE y на оси координат:

,

где i иj - единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l . В силу симметрии интеграл равен нулю. Тогда

, (1)

где

. Так какr =R =constиdl =R d. то

Подставим найденное выражение dE y в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно осиОу, пределы интегрирования возьмем от 0 до/3, а результат удвоим;

.

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги(3 l = 2r ), получим

.

Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением осиОу Подставив значениеиl в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем

E =2,18 кВ/м.

Определим потенциал электрического поля в точке О . Найдем сначала потенциалd, создаваемый точечным зарядомdQ в точкеО:

Заменим r наR и произведем интегрирование:

.Так как l =2  R /3, то

=/(6 0 ).

Произведя вычисления по этой формуле, получим

Пример 4 . Электрическое поле создана длинным цилиндром радиусомR = 1см, равномерно заряженным с линейной плотностью=20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянияхa 1 =0,5 см иа 2 =2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциалаЕ = -grad. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Е= –(d/dr ) , илиd= -Е dr .

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r 1 иr 2 от оси цилиндра;

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой

. Подставив это выражениеЕ в равенство (1), получим

(2)

Так как величины r 2 иr 1 входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:

r 1 =R+a 1 = 1,5 см; r 2 =R +a 2 =3см.

Подставив значения величия , 0 ,r 1 иr 2 в формулу (2) и вычислив, найдем

 1 - 2 =250 В.

Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд=0,1 мкКл/м. Определить потенциалполя в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу

, (1)

справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если разбить стержень на элементарные отрезки dl , то зарядdl , находящийся на каждом из них, можно рассматривать как точечный и тогда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, получим

, (2)

где r - расстояние точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня.

Из рис. 15.3 следует, что dl =(r d/cos). Подставив это выражение dl в формулу (2), найдем

.

Интегрируя полученное выражение в пределах от  1 да 2 , получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным на стержне:

.

Всилу симметрии расположения точкиА относительно концов стержня имеем 2 = 1 и поэтому

.

Следовательно,

.Так как

(см. табл. 2), то

.

Подставляя пределы интегрирования, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

Пример 6. Электрон со скоростьюv=1,8310 6 м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциаловU должен пройти электрон, чтобы обладать энергиейE i =13,6 эВ*? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциаловU, чтобы приобретенная при этом энергияW в сумме с кинетической энергиейT , которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизацииE i , т. е.W + T = E i . Выразив в этой формулеW = eU иТ =(m v 2 /2), получимeU +(m v 2 /2)=E i . Отсюда

.

___________________

* Электрон-вольт (эВ) - энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта внесистемная единица энергии в настоящее время допущена к применению в физике.

Произведем вычисления в единицах СИ:

U=4,15 В.

Пример 7. Определить начальную скоростьυ 0 сближения про­тонов, нахо­дя­щихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояниеr min , на которое они могут сблизиться, равно 10 -11 см.

Р е ш е н и е. Между двумя протонами действуют силы оттал­кивания, вслед­ствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно ре­шить как в инерциальной системе коор­динат (связанной с центром масс двух протонов), так и в неинер­циальной (связанной с одним из ускоренно движу­щихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Примене­ние же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной сис­теме отсчета.

Поместим начало координат в центр масс двух протонов. По­скольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скоро­сти. Когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, скорость υ 1 каждой частицы равна половинеυ 0 , т. е.υ 1 =υ 0 /2.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии, со­гласно кото­рому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т. е.

Е=Т+ П,

где Т - сумма кинетических энергий обоих протонов относительно центра масс; П - потенциальная энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную энергию в начальный П 1 и конечный П 2 моменты движения.

В начальный момент, согласно условию задачи, протоны нахо­дились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (П 1 =0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергииT 1 протонов, т. е.

E=T l . (1)

В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, скорость и кинети­ческая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальной энер­гии П 2 , т. е.

Е= П 2 . (2)

Прирав­няв правые части равенств (1) и (2), получим

T 1 =П 2 . (3)

Кинети­ческая энергия равна сумме кинетических энергий про­тонов:

(4)

Потенциальная энергия системы двух зарядов Q 1 иQ 2 , находя­щихся в вакууме, определяется по формуле

, гдеr - расстоя­ние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, полу­чим

(5)

С учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид

откуда

Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем υ 0 =2,35 Мм/с.

Пример 8. Электрон без на­чальной скорости прошел разность потен­циаловU 0 =10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряжен­ного до разности потенциаловU l =100 В, по ли­нииАВ, парал­лельной пластинам (рис. 15.4). Рас­стояниеd между пла­стинами равно 2 см. Длинаl 1 ­пластин конденсатора в нап­равлении по­лета элек­трона, равна 20cм. Определить рас­стояниеВС на экранеР, от­стоящем от конденсатора наl 2 =1 м.

Р е ш е н и е. Движение электрона внутри конденсато­ра складыва­ется из двух дви­жений: 1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоро­стьюυ 0 , приобретенной под действием разности потенциаловU 0 , кото­рую электрон прошел до конденсатора; 2) равномерно ускоренного дви­жения в вертикальном направлении к положительно заряженной пла­стине под действием постоянной силы поля конденсатора. По вы­ходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоро­стьюυ, которую он имел в точкеМ в момент вылета из кон­денсатора.

Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние |BC|=h 1 +h 2 , где сh 1 - рас­стояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе;h 2 - расстояние между точкой D на эк­ране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденса­тора по направлению начальной скоростиυ 0 , и точкой С, в которую электрон попадет в действительности.

Выразим отдельно h 1 иh 2 . Пользуясь формулой длины пути равно­мерно ускоренного движе­ния, найдем

. (1)

где а - ускорение, полученное электроном под действием поля конден­сатора;t- время полета электрона внутри конденсатора.

По второму закону Ньютона a=F/m, гдеF - сила, с которой поле дей­ствует на электрон;т- его масса. В свою очередь,F =eE=eU 1 /d, гдее - заряд электрона;U 1 - разность потенциалов между пластинами конден­сатора;d - расстояние между ними. Время полета электрона внутри конденсатора найдем из фор­мулы пути равномерного движения

, откуда

где l 1 - длина конденсатора в направлении полета электрона. Выраже­ние скорости найдем из условия равенства работы, совер­шенной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинетической энер­гии:

. Отсюда

(2)

Подставляя в формулу (1) последовательно значения а, F , t иυ 0 2 из со­ответствующих выражений, получим

Длину отрезка h 2 найдем из подобия треугольниковMDC и век­тор­ного:

(3)

где υ 1 - скорость электрона в вертикальном направлении в точкеМ; l 2 - расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость υ 1 найдем по формулеυ 1 =at, которая с учетом выра­жений дляа, F иt примет вид

Подставив выражение υ 1 в формулу (3), получим

, или, заменивυ 0 2 по формуле (3), найдем

Окончательно для искомого расстояния |BC | будем иметь

|BC |=

­

­Подставив значения величин U 1 ,U 0 ,d, l 1 иl 2 в последнее выражение и произведя вычисления, получим |BC |=5,5cм.

Задачи

Потенциальная энергия и потенциал поля точечных зарядов

15.1. Точечный зарядQ = 10 нКл, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал φ этой точки поля.

5.2. При перемещении зарядаQ=20 нКл между двумя точками поля внеш­ними силами была совершена работаА=4 мкДж. Определить работуA 1 сил поля и разность Δφ потенциалов этих точек поля.

15.3. Электрическое поле создано точечным положительным заря­домQ 1 =6 нКл. Положительный зарядQ 2 переносится из точкиА этого поля в точкуВ (рис. 15.5). Каково изменение потенциаль­ной энергии ΔП, приходящееся на единицу переносимого заряда, еслиr 1 =20 см иr 2 =50 см?

15.4. Электриче­ское поле создано точечным зарядомQ l =50 нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работуА в

нешних сил по пе­ремещению точечного зарядаQ 2 = -2 нКл из точкиС в точкуВ

(рис. 15.6), если r 1 =10 см,r 2 =20 см. Определить также измене­ние ΔП потенциальной энергии сис­темы зарядов.

15.5. Поле создано точечным зарядомQ =1 нКл. Определить потен­циал φ поля в точке, удаленной от заряда на расстояниеr =20 см.

15.6. Определить потенциал φ электрического поля в точке,удаленной от зарядовQ 1 = -0,2 мкКл иQ 2 =0,5 мкКл соответственно наr 1 =15 см иr 2 =25 см. Определить также минимальное и мак­симальное расстояния между зарядами, при которых возможно решение.

15.7. ЗарядыQ 1 =1 мкКл иQ 2 = -1 мкКл находятся на рас­стоянииd =10 см. Определить напряженностьЕ и потенциал φ поля в точке, уда­ленной на рас­стояниеr = 10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпенди­кулярно направлению отQ 1 кQ 2 .

15.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точеч­ных зарядовQ 1 =100 нКл иQ 2 =10 нКл, находящихся на рас­стоянииd =10 см друг от друга.

15.9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных за­рядовQ 1 =10 нКл,Q 2 =20 нКл иQ 3 = -30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной длинойa =10 см.

15.10. Какова потенциальная энергия П системы четырех одинако­вых то­чечных зарядовQ =10 нКл, расположенных в верши­нах квадрата со стороной дли­нойа =10 см? .

15.11. Определить потенциальную энергию П системы четырех то­чечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной дли­нойa =10 см. За­ряды одинаковы по модулюQ =10 нКл,но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая расположения зарядов.

15.12 . Поле создано двумя точечными зарядами+ 2Q и-Q, находящимися на расстоянииd =12 см друг от друга. Определить геометрическое место точек на плоскости, для которых потенциал равен нулю (написать уравнение линии нулевого потенциала).

5.13. Система состоит из трех зарядов - двух одинаковых по величинеQ 1 = |Q 2 |=1 мкКл и противоположных по знаку и зарядаQ=20 нКл, расположенного точке 1 посередине между двумя другими зарядами системы (рис. 15.7). Определить изменение потенциальной энергии ΔП системы при переносе зарядаQ из точ­ки 1 в точку 2. Эти точки удалены от отрицательного зарядаQ 1 на расстояниеа= 0,2 м.

Потенциал поля линейно распределенных зарядов

15.14. По тонкому кольцу радиусомR= 10 см равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ= 10 нКл/м. Определить потенциал φ в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянииа= 5 см от центра.

15.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м. Вычислить потенциал φ, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (электростатическое поле), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электро­статического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q 0 в начальной и конечной точках поля заряда Q : , откуда следует, что потенциальная энергия заряда q 0 в поле заряда Q равна . Она определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С . Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r ®¥) потенци­альная энергия обращается в нуль (U =0), то С =0 и потенциальная энергия заряда Q 0 , находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна . Для одноименных зарядов Q 0 Q> 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (оттал­кивания) положительна, для разноименных зарядов Q 0 Q <0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Потенциал j в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещен­ного в эту точку. Из чего следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q , равен . Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 , может быть представлена как , т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного поло­жительного заряда из точки 1 в точку 2 . Работа сил поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде . Выражение для разности потенциалов: , где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траек­тории перемещения.

Если перемещать заряд Q 0 из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконеч­ность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля A ¥ =Q 0 j откуда

Потенциал - физическая величина, определяемая работой по переме­щению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Единица потенциала -вольт (В): 1 В есть потен­циал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл).

В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... ,n ). Энергиявзаимодействия всех n зарядов определится соотношением

где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Из этого следует, что потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Рассматривая электрическое поле, созданное системой зарядов, следует для определения потенциала поля использовать принцип суперпозиции:

Потенциал электрического поля системы зарядов в данной точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов электрических полей, создаваемых в данной точке пространства, каждым зарядом системы в отдельности:

6. Эквипотенциальные поверхности и их свойства. Связь между разностью потенциалов и напряжённостью электростатического поля.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - кон­центрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точеч­ного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эк­випотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим повер­хностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы заря­дов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверх­ностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас­положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x 2 -x 1 = dx, равна E x dx. Та же работа равна j 1 -j 2 =dj. Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Е :

гдеi, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения, пользуютсяэквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.