Работа перемещения контура с током в магнитном поле

Допустим, что провод с током может свободно перемещаться во внешнем магнитном поле. Внешнее полем будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура.

При указанных на рисунке направлениях тока и поля сила будет направлена вправо и равна

где - длина перемещающегося участка тока.

На пути dx эта сила совершит работу

Произведение равно заштрихованной площади, а - потоку магнитной индукции через эту площадь. Поэтому можно написать, что

где - поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.

Полученный результат легко обобщить на случай неоднородного поля. Для этого проводник нужно разбить на участки и сложить элементарные работы, совершаемые над каждым участком (в пределах каждой малой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной).

Если вектор образует с нормалью к контуру угол a , отличный от нуля, направления силы составит с направлением перемещения также угол a и

где - составляющая вектора по направлению нормали к площадке . Произведение есть - поток, пересекаемый проводником. Таким образом и в этом случае мы приходим к формуле (16.7).

Заметим, что совершается не за счет магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре.

Найдем работу, совершаемую над замкнутым контуром с током при его перемещении в магнитное поле. Предположим, что контур остается в одной плоскости. Силы, приложенные к участку контура 1-2, образуют с направлением перемещения острые углы. Следовательно, совершаемая ими работа А 1 положительна. Эта работа пропорциональна силе тока и пересеченному потоку магнитной индукции

.

Силы, действующие на участок 2-1, образуют с направлением перемещения тупые углы. Поэтому совершаемая ими работа А 2 отрицательна

.

Работа, совершаемая над всем контуром, равна

Сила Лоренца

Сила, действующая на электрический заряд q , движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца и выражается формулой

где - индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощьюправила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, что бы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора (для q > 0 направления I и совпадают, для q <0-противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, на правление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, которые определяются с помощью закона Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура сделана в виде подвижной перемычки, рис. 1), то под действием силы Ампера он в магнитном поле будет перемещаться. Значит, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для вычисления этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно двигаться), который помещен в однородное внешнее магнитное поле, которое перпендикулярно плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, рассчитывается по формуле

Под действием данной силы проводник передвинется параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, которая совершается магнитным полем, равна

так как ldx=dS — площадь, которую пересекает проводник при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, который пронизывает эту площадь. Значит,

(1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Данная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Рассчитаем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Будем считать, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения перейдет в положение М", изображенное на рис. 2 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж или от нас) дано на рисунке. Контур М условно разобьем на два соединенных своими концами проводника: AВС и CDА.

Работа dA, которая совершается силами Ампера при иссследуемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников AВС (dA1) и CDA (dA2), т. е.

Силы, которые приложенны к участку CDA контура, образуют острые углы с направлением перемещения, поэтому совершаемая ими работа dA2>0. .Используя (1), находим, эта работа равна произведению силы тока I в нашем контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDA пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ2, который пронизывает контур в его конечном положении. Значит,

Силы, которые действуют на участок AВС контура, образуют тупые углы с направлением перемещения, значит совершаемая ими работа dA1<0. Проводник AВС пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ1, который пронизывает контур в начальном положении. Значит,

Рассмотрим контур с током, в котором одна сторона подвижна и имеет длину l . При показанных на рисунке направ­лениях тока и индукции на подвижную сторону действует сила , которая, при пере­мещении перемычки на расстояние совершит работу

Величину следует понимать как поток через площадь, описанную перемычкой при её движении. Соответственно работа, совершаемая магнитной силой при перемещении участка контура с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока, через поверхность, описанную участком при перемещении.

При конечно перемещении участка контура

где Ф 1 и Ф 2 - начальное и конечное значения магнитного потока через контур.

Можно показать, что формула (18.39) справедлива и в общем случае при произвольном перемещении любого контура в однородном и неоднородном маг­нитном поле.

Дивергенция магнитного поля

До настоящего времени экспериментально обнаружить магнитные заряды не удалось. Соответственно линии вектора не имеет ни начала, ни конца и всегда замкнуты . Соответственно поток через любую замкнутую поверх­ность должен быть равен нулю. Таким образом, теорема Гаусса в интегральной форме для вектора выражается формулой :

(18.40)

– поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность ра­вен нулю .

Преобразуем поверхностный интеграл в (18.40) по теореме Остроградского-Гаусса:

Уравнение (18.41) должно выполняться для произвольного объема, а поэтому

Соотношение (18.42)выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме для вектора индукции магнитного поля.

Ротор магнитного поля

Циркуляция вектора наиболее просто вычисляется в случае прямого тока. Рассмотрим замкнутый контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной к току. В каждой точке контура направлен по касательной к окружности с центром в месте прохождения тока и проходящей через данную точку. В выражении для циркуляции заменим на . Учтем, что - угол, на который поворачивается радиаль­ная прямая при перемещении вдоль контура на . Таким образом,

(18.43)

Тогда для циркуляции получаем

Если рассматриваемый контур охватывает ток, то при обходе по контуру ра­диальная прямая поворачивается в одном направлении и . Если же контур не охватывает тока, то . Поэтому можно записать:

(18.45)

где под I подразумевается ток, охватываемый контуром.

В выражении (18.45) ток рассматривается как алгебраическая величина : если направление обхода контура образует с направлением тока правовинтовую систему, то ток считают положительным, в противном случае - отрицательным .

Формула (18.45) получена для прямого тока. Но можно доказать, что онасправедлива и в общем случае, для тока произвольной формы.

Представим, что некоторый контур охватывает не один а несколько токов. Для каждого из них справедливо соотношение (18.45). В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего поля равна векторной сумме полей каждого из этих токов. Поэтому циркуляция вектора индукции результирующего поля (18.46)

По формуле (18.45)

(18.47)

Важно помнить, что сумма в (18.47) является алгебраической.

Возможны ситуации, когда токи распределены в пространстве с некоторой плотностью . Этом случае вместо в (18.47) следует взять ток, который протекает через некоторую поверхность , опирающуюся на контур L . При этом поверхность может быть произвольной, единственное требование – она должна опираться на контур L. Суммарный ток через такую поверхность равен потоку вектора через нее. Поэтому соотношение (18.47) можно представить в виде:

(18.48)

По теореме Стокса

Следовательно

. (18.50)

Поверхность интегрирования может быть произвольной (опирающуйся на контур L ), поэтому должны быть равны подынтегральные выражения:

Формулы (18.48) и (18.51) отражают существенное отличие электрического и магнитного полей: циркуляция и ротор вектора напряженности электрического поля равны нулю. Это является следствием того, что электростатическое поле потенциально и может быть описано с помощью скалярного потенциала.

Магнитное поле не является потенциальным , его циркуляция не обязательно равна нулю, его нельзя описать с помощью скалярного потенциала. Такие поля называют вихревыми или соленоидальными .

Поле соленоида и тороида.

Самостоятельно. Обратить внимание на вид силовых линий этих полей и формулы для индукции.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ам­пера

Под действием этой силы (если проводник не закреплен и имеет возможность скользить и перемещаться – рис.113) он будет перемещаться в магнитном поле.

Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током. Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I, помещенный в однородное магнитное поле, где В перпендикулярен плоскости контура.

Под действием силы F проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из 1 во 2 положение. Работа, совершенная маг­нитным полем, равна

dA = F dx = IBl dx = IB dS = I dФ,

dS = l dx – заштрихованная площадь,

BdS = dФ - магнитный поток сквозь площадь dS.

Таким образом, dA = I dФ, т.е. работа равна произведению тока I на магнитный поток, пересеченный движущимся провод­ником. Полученная формула справедлива и для произвольного на­правления вектора В .

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с то­ком I в магнитном поле.

Пусть контур М перемещается в магнитном поле из положения 1 в положение 2 в плоскости чертежа (рис.114). Вектор В перпендикулярен плоскости контура и направлен за плоскость чертежа. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: АВС и СДА.

Работа dA, совершаемая силами Ампера при перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников АВС (dA 1) и СДА (dA 2), т.е.

dA = dA 1 + dA 2 .

При этом dA 1 < 0, dA > 0, т.к. F 1 направлена в сторону противопо­ложную перемещению, а F 2 – в сторону перемещения

dA 2 = I (dФ 0 + dФ 2)

dA 1 = -I (dФ 0 + dФ 1)

dA = I (dФ 2 - dФ 1)

где dФ"=dФ 2 –dФ 1 – изменение магнитного потока через площадь, ограниченную контуром с током. Интегрируя, получим

Т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнит­ном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

Действие магнитного поля на движущейся заряд. Сила Лоренца

Движущиеся заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света, в других средах – с несколько меньшей скоростью. Если заряд движется во внешнем магнитном поле, то между полем движущегося заряда и внешним полем возникает сила взаимодействия. Так как электриче­ский ток – это поток движущихся заряженных частиц, то сила, дей­ствующая на проводник с током в магнитном поле (сила Ампера) является результатом действия сил на каждый отдельный движу­щийся заряд в этом проводнике.

По закону Ампера, сила F, действующая на проводник с то­ком I, равна

где l - длина проводника, α - угол между направлением вектора В и направлением тока.

Сила тока (по определению) I = Q·n, где n – количество за­рядов Q, проходящих через поперечное сечение проводника за 1 с.

Очевидно, что n = n 0 vS, где n 0 – количество зарядов в 1 м 3 проводника, v – скорость движения зарядов, S –поперечное сече­ние проводника. Тогда I =Qn 0 vS, а сила равна

F = Qn 0 vSBl sin α.

Эта сила действует на все движущиеся заряды, содержащиеся в объеме проводника V = Sl. В этом объеме содержится N = n 0 Sl за­рядов. Следовательно, на один заряд будет действовать сила F Л

= QvBsin α.

Сила F Л называется силой Лоренца

F Л = QvBsin α; F Л = Q[vB ],

Сила Лоренца, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В , прямо пропорциональна заряду Q, скорости v, индукции В и sin α угла между направлением v и В .

Для тока в проводнике за направление v принимается направление движения положительных зарядов. Направление силы Лоренца оп­ределяется по правилу левой руки.

Указательный палец - по полю (В ).

Согнутый средний палец – по направлению v .

Большой отогнутый палец покажет направление F Л.

Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярноv, по­этому она работы не совершает. Она изменяет направление скоро­сти v, а величина скорости и кинетическая энергия заряда при его движении в магнитном поле не меняются.

Траектория движения заряженной частицы, влетающей (по прямой) в магнитное поле, представляет собой спираль (рис. 115).

Радиус спирали определится из условия F Л = F Ц

.

В приведенном примере sin α = 1;

Когда заряд движется одновременно в электрическом и магнитном полях, на него действует сила F Л равная

F Л = QE + Q [v B ].

Это выражение называется формулой Лоренца.